Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой экономической интерпретации ее параметров.
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида или
Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора х.
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров а и b.
Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).
МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у) от расчетных (теоретических) минимальна:
Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной:
Решается система нормальных уравнений:
где ,
и
- средние значения факторов Х, Y и их произведения;
cov(x,y) – ковариация признаков.
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Так, если в функции издержек (у— издержки (тыс. руб.), x — количество единиц продукции), с увеличением объема продукции (x) на 1 ед. издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. руб., т. е. дополнительный прирост продукции на 1 ед. потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. руб.
Формально а — значение у при x = 0. Если признак-фактор x не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена а не имеет смысла. Параметр a может не иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпретировать параметр а могут привести к абсурду, особенно при а < 0,
Интерпретировать можно лишь знак при параметре а. Если а > 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Иными словами, вариация результата меньше вариации фактора.
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи.
При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существуют разные модификации формулы линейного коэффициента корреляции.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации
характеризует долю вариации (дисперсии) результативного признака Y, объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором Х), в общей вариации (дисперсии) Y. Коэффициент принимает значения от 0 до 1. Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.
Предыдущие материалы: | Следующие материалы: |