Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена.


 

Одним из предположений теории наименьших квадратов является предположение, что все ошибки  Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена. наблюдений имеют одинаковые дисперсии. Однако, при моделировании реальных экономических процессов это предположение выполняется далеко не всегда. Посмотрим на ряд урожайностей зерновых в США на рис. 4.1. Можно предположить, что с начала 20 века, с повышением уровня агротехники, индустриализацией и химизацией сельского хозяйства росла не только средняя урожайность, но и абсолютные колебания урожаев вокруг среднего уровня. Если описать изменения среднего уровня урожайности некоторым уравнением регрессии, то ошибки наблюдений будут возрастать с течением времени.

Предположение о том, что ошибки  Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена. наблюдений имеют одинаковые дисперсии, называется гомоскедастичностью. Если же ошибки  Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена. наблюдений имеют разные дисперсии, то говорят о гетероскедастичности наблюдений.

во многих случаях обнаружение гетероскедастичности визуально не столь очевидно. Чтобы определить, присутствует ли гетероскедастичность на самом деле, применяют различные тесты.

Все тесты основаны на предположении о наличии связи между дисперсиями остатков моделей и объясняющими переменными или расчетными значениями зависимой переменной в случае гетероскедастичности.

Эта связь обнаруживается с помощью коэффициента ранговой корреляции в тесте ранговой корреляции Спирмена, либо предполагается пропорциональность стандартных отклонений  Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена. и зависимой переменной Y в тесте Голдфелда-Квандта, либо строятся различные линейные и нелинейные регрессии  Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена.,  Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена.2 , Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена. на объясняющие переменные или степени зависимой переменной Y  и проверяется значимость полученных коэффициентов регрессии в тесте Уайта.

Подходы к решению проблемы гетероскедастичности

1-й общий подход к решению данной проблемы состоит в преобразовании исходных данных таким образом, чтобы для преобразованных данных модель уже обладала свойством гомоскедастичности. Применяют чаще всего два вида преобразований а) логарифмирование данных; б) переход к безразмерным величинам путем деления на некоторые известные величины, той же размерности, что и исходные данные. Возможна также стандартизация исходных данных.

Второй подход состоит в применении взвешенного и обобщенного метода наименьших квадратов.

Вычитая из данных X(ti) выровненные значения  Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена., получаем остатки, случайную составляющую тренда

 

e(t) =X(t) -  Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена. .                                               (5.14)

 

Обычно считается, что выравнивание удовлетворительное, если остатки e(t) образуют стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием me(t) = M = 0.

Кроме того, для корректного применения МНК, необходимо более жесткое предположение, что e(t) – случайные независимые (хотя бы некоррелированные) величины с me(t) = 0. Если же e(ti) коррелируют между собой, то говорят, что в модели присутствует автокорреляция остатков. Метод наименьших квадратов и в этом случае дает несмещенные  и  состоятельные  оценки  коэффициентов  уравнений  кривых.

Однако, получаемые при этом стандартные ошибки и доверительные интервалы для коэффициентов оказываются заниженными.

Это может привести к ошибочным выводам при оценке качества отобранной модели поведения временного ряда. Значительная корреляция остатков сигнализирует о том, что, либо кривая  Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена. подобрана неудачно, либо придется строить еще одну модель для описания поведения самих остатков e(ti).

Итак, при анализе модели тренда необходимо определить присутствует или нет автокорреляция в e(ti). Предварительную оценку случайности поведения остатков проводят на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждое значение e(ti) ряда остатков сравнивается с двумя рядом стоящими значениями e(ti – 1) и e(ti + 1).

Если e(ti) > e(ti–1) и e(ti) > e(ti+1) или e(ti) < e(ti–1), e(ti) < e(ti+1), то точка e(ti) считается поворотной (в ней достигается локальный максимум или минимум). Далее подсчитывается общее количество поворотных точек P. В случайном ряду остатков должно выполнятся строгое неравенство:

P > [2(n – 2)/3 – 2 Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена..                                               (5.15)

Квадратные скобки здесь означают, что берется целая часть числа (не путать с процедурой округления). Отметим, что критерий поворотных точек сигнализирует только о наличии положительной корреляции в ряде остатков. Если число поворотных точек P велико, приближается к n – 2 , то можно говорить о наличии отрицательной корреляции между соседними членами временного ряда остатков. Критерий поворотных точек является предварительным и его следует дополнить другими, более точными критериями.

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы: