Матричная форма метода наименьших квадратов.


3.3.1.Уравнение наблюдений в матричной форме

 

Запишем наблюдения в каждой точке i:

                                                                           (3.4)

Введем в рассмотрение матрицу плана наблюдений или матрицу базисных функций (не путать с вектором ).

                                                             (3.5)

Тогда при условии линейного вхождения вектора параметров  в модель, получим:

 

                                                                           (3.6)

 

Справедливость уравнения (3.6) проверяется переводом уравнения (3.6) в скалярную форму по правилу умножения матрицы X на вектор .

В уравнении наблюдений (3.6)

= (b0,b1,….,bj,….bn); - n – мерный вектор оцениваемых параметров;

= (e0,e1,….,ej,….en); - N – мерный вектор остатков;

= (y0,y1,….,yj,….yn); - N – мерный вектор наблюдений.

 

Замечание: Если структура модели нелинейна по , т.е.  входит в базисную функцию, то записать уравнение (3.6) невозможно и классический метод наименьших квадратов непримерим.

 

3.3.2.Нормальные уравнения регрессии и формула для параметров уравнения

 

Используем известную формулу из матричной алгебры:

                                                                                 (3.7)

Тогда, опуская стрелки с учетом того, что  получаем:

 

                                                   (3.8)

                                                                                        (3.9)

 

Система нормальных уравнений запишется в виде:

                                                                                                       (3.10)

где (XTX) – матрица нормальных уравнений.

Пусть обратная матрица (XTX)-1 существует (она называется информационной матрицей Фишера). Тогда:

 

                                                     

 

В противном случае det(XTX)-1=0 и матрица нормальных уравнений необратима.

Если det(XTX)-1¹0, но очень мал, то обращаемая матрица плохо обусловлена. Возникает вычислительные проблемы обращения матриц большей размерности.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: