Критерий Кендалла.


Этот критерий основан на попарном сравнении всех наблюдений. Для каждой пары индексов  ,  положим

т.е.    тогда и только тогда, когда значения , расположены в порядке, обратном порядку их индексов, т.е. образуют инверсию. Случайная величина

              

равна суммарному количеству инверсий в ряду . Минимальное значение  достигается при  ,  а максимальное    при .

Среднее значение  , соответствует "наибольшему беспорядку" среди значений ряда; при этом, .

           Критерий Кендалла использует статистику

           ;

в литературе ее часто называют “тау Кендалла”. При гипотезе  распределение случайной величины   имеет симметричную относительно нуля плотность с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

           ,

а стандартизованная величина

          

имеет распределение, которое уже при  хорошо аппроксимируется стандартным нормальным распределением. Гипотеза  отвергается при значениях , значимо отличающихся от нуля.

          Замечание. Как и в случае критерия поворотных точек, при применении критерия Кендалла возникают трудности, связанные с наличием у ряда двух или нескольких совпадающих наблюдений. Обойти эти трудности можно двумя способами.

  • Первый способ состоит в том, что производится прореживание ряда, в процессе которого удаляются "дублирующие" значения. При этом ряд становится короче, но если гипотеза Н0 верна для всего ряда, то она верна и для "укороченного" ряда, а для последнего она проверяется без проблем.
  • Второй способ состоит в том, что сначала каждой паре совпадающих значений сопоставляется нулевой вклад ; при этом получается нижняя граница для значения , соответствующего "истинному" (разокругленному) ряду. Затем каждой паре совпадающих значений сопоставляется единичный вклад ; при этом получается верхняя граница для . Полученные два граничных значения используются для вычисления соответствующих им значений , и на основании этих вычисленных значений делаются заключения относительно справедливости гипотезы .

Критерий Кендалла оказывается чувствительнее критерия поворотных точек при наличии в данных линейного тренда. Однако в случае, когда исследуемая характеристика подвержена сезонным изменениям, критерий Кендалла оказывается бесполезным, поскольку он, как правило, не отвергает гипотезу случайности    даже при наличии выраженного периодического тренда. Напротив, критерий поворотных точек может помочь в выявлении такого тренда, отвергая в такой ситуации гипотезу случайности.

В этом проявляется общий принцип, состоящий в том, что каждый конкретный критерий наилучшим образом работает при вполне определенных альтернативах, так что не существует какого-то одного универсального критерия проверки гипотезы случайности, эффективно работающего абсолютно во всех ситуациях. В связи с этим полезно иметь на вооружении целый арсенал критериев проверки случайности, которые в совокупности помогают либо принять модель случайной выборки либо отказаться от нее в пользу той или иной более сложной модели временного ряда.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: