Процессом белого шума (white noise process), или просто “белым шумом” (white noise), называют стационарный случайный процесс ,
, для которого
,
и
при t ≠ 0.
Последнее означает, что при t ≠ s случайные величины и
, соответствующие наблюдениям процесса белого шума в моменты t и s, не коррелированы. Если ряд
гауссовский, то отсюда вытекает независимость случайных величин
и
при t ≠ s ; при этом для каждого m и для каждого набора
случайные величины
взаимно независимы и имеют одинаковое нормальное распределение
, образуя случайную выборку из этого распределения. Такой ряд называют гауссовским белым шумом (Gaussian white noise process).
В то же время, в общем случае, даже если для каждого m и для каждого набора случайные величины
взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что
– процесс белого шума, т.к. случайная величина
может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши).
Временной ряд, соответствующий процессу белого шума, ведет себя крайне нерегулярным образом из-за некоррелированности при t ≠ s случайных величин и
. Это иллюстрирует график смоделированной реализации гауссовского процесса белого шума (NOISE) с D(Xt) ≡ 0.04, показанный на рис. 1.1.
Рис. 1.1
В связи с этим процесс белого шума не годится для непосредственного моделирования эволюции большинства временных рядов, встречающихся в экономике. В то же время, как мы увидим ниже, такой процесс является базой для построения более реалистичных моделей временных рядов, порождающих “более гладкие” траектории ряда. В связи с частым использованием процесса белого шума в дальнейшем изложении, мы будем отличать этот процесс от других моделей временных рядов, используя для него обозначение .
В качестве примера ряда, траектория которого похожа на реализацию процесса белого шума, можно указать, например, на ряд, образованный значениями темпов изменения (прироста) индекса Доу− Джонса в течение 1984 года (дневные данные). График этого ряда имеет показан на рис. 1.2.
Рис. 1.2
Заметим, однако, что здесь наблюдается некоторая асимметрия распределения вероятностей значений (скошенность этого распределения в сторону положительных значений), что исключает описание модели этого ряда как гауссовского белого шума. Между тем, например, на периоде с 28 февраля по 7 июня 1984 г. ряд приростов логарифма индекса Доу − Джонса (“логарифмические доходности”) идентифицируется критериями, рассмотренными на первой лекции, как случайная выборка из нормального распределения с нулевым средним, т.е. как гауссовский белый шум.
Предыдущие материалы: | Следующие материалы: |