Процесс белого шума.

Процессом белого шума (white noise process), или просто “белым шумом” (white noise), называют стационарный случайный процесс , , для которого

,    

и

  при  t ≠ 0.

Последнее означает, что при  t ≠ s случайные величины    и , соответствующие наблюдениям процесса белого шума в моменты t и s, не коррелированы. Если ряд  гауссовский,  то отсюда вытекает независимость случайных величин   и  при  t ≠ s ; при этом для каждого  m  и для каждого набора  случайные величины  взаимно независимы и имеют одинаковое нормальное распределение  , образуя случайную выборку из этого распределения. Такой ряд называют гауссовским белым шумом (Gaussian white noise process).

В то же время, в общем случае, даже если для каждого  m  и для каждого набора  случайные величины  взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что  – процесс белого шума, т.к. случайная величина     может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши).

Временной ряд, соответствующий процессу белого шума, ведет себя крайне нерегулярным образом из-за некоррелированности при  t ≠ s случайных величин    и . Это иллюстрирует график смоделированной реализации гауссовского процесса белого шума (NOISE) с  D(Xt) ≡ 0.04, показанный на рис. 1.1.

                                 Рис. 1.1

В связи с этим процесс белого шума не годится для непосредственного моделирования эволюции большинства временных рядов, встречающихся в экономике. В то же время, как мы увидим ниже, такой процесс является базой для построения более реалистичных моделей временных рядов, порождающих “более гладкие” траектории ряда. В связи с частым использованием процесса белого шума в дальнейшем изложении, мы будем отличать этот процесс от других моделей временных рядов, используя для него обозначение   .

В качестве примера ряда, траектория которого похожа на реализацию процесса белого шума, можно указать, например, на ряд, образованный значениями темпов изменения (прироста) индекса Доу− Джонса в течение 1984 года (дневные данные). График этого ряда имеет показан на рис. 1.2.

                                Рис. 1.2

Заметим, однако, что здесь наблюдается некоторая асимметрия распределения вероятностей значений    (скошенность этого распределения в сторону положительных значений), что исключает описание модели этого ряда как гауссовского белого шума. Между тем, например, на периоде с 28 февраля по 7 июня 1984 г. ряд приростов логарифма  индекса Доу − Джонса (“логарифмические доходности”) идентифицируется критериями, рассмотренными на первой лекции, как случайная выборка из нормального распределения с нулевым средним, т.е. как гауссовский белый шум.