Процесс скользящего среднего первого порядка


 Простейшим процессом, сконструированным на базе процесса белого шума, является  процесс скользящего среднего первого порядка  (first-order moving average – MA(1)):

Xt  = εt  + bεt–1    t = 1, …, n,

где  εt  – процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и дисперсию 2 .

               Для этого процесса

               E(Xt) = E(εt  + bεt–1) = 0,

               D(Xt) = D(εt  + bεt–1) = 2 + b22 = (1 + b2)2,

               Cov(Xt , Xt–1 ) = Cov =

                       =  Cov(εt , εt–1 ) + b Cov(εt–1, εt–1 ) + b Cov(εt, εt–2 ) + b2 Cov(εt–1, εt–2 ) = b sε2,

               Cov(Xt , Xt–k ) = Cov = 0      для  k > 1.

 В правые части всех этих соотношений не входит  t , математическое ожидание и дисперсия  процесса  Xt   постоянны, а его ковариационная функция зависит только от величины запаздывания одного наблюдения относительно второго, т.е. от  k :

                Cov(Xt , Xt–k ) = g (k) =        

Следовательно, процесс  Xt  является стационарным.

Автокорреляции этого процесса равны

ρ(k) =

т.е. коррелограмма процесса имеет весьма специфический вид. Коррелированными оказываются  только  соседние наблюдения.  Корреляция  между  ними положительна, если  b > 0, и отрицательна при < 0. Соответственно, процесс MA(1) с  b > 0 имеет более гладкие, по сравнению с белым шумом, реализации, а процесс MA(1) с  b < 0 имеет менее гладкие, по сравнению с белым шумом, реализации.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: