Процесс авторегрессии


Широко используемой моделью временных рядов является процесс авторегрессии (autorеgressive process). В своей простейшей форме модель авторегрессии описывает механизм порождения ряда следующим образом (процесс авторегрессии первого порядка – first-order autorеgressive process, AR(1)):

Xt = a Xt – 1 + εt ,  t = 1, …, n,

где  εt  – процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и дисперсию 2,  X0 – некоторая “стартовая” случайная величина, дающая начало рекурсии, а  a ≠ 0 – некоторый постоянный коэффициент.

               Из этого соотношения последовательно получаем:

               X1 = a X0 + ε1,

               X2 = a X 1 + ε2 = a (a X0 + ε1) + ε2 = a2 X0 + a ε1 + ε2,

               X3 = a X 2 + ε3 = a (a2 X0 + a ε1 + ε2) + ε3 = a3 X0 + a2 ε1 + a ε2 + ε3,

                     …

 Xt–1 = a Xt–2 + εt–1 = a t–1 X0 + a t–2 ε1 + a t–3 ε2 + … + εt–1,

  Xt  = a X t – 1 + εt   =   a t X0 + a t –1 ε1 + a t–2 ε2 + … + εt ,

Если случайная величина  X0  не коррелирована со случайными величинами  ε1, ε2, …, εn,  то отсюда следует, что

Cov( ε1, X0) = 0, 

Cov( ε2, X1) = 0, Cov( ε2, X0) = 0,

Cov( ε3, X2) = 0, Cov( ε3, X1) = 0, Cov( ε3, X0) = 0,

            …

Cov( εt , Xt–1) = 0, Cov( εt , Xt–2) = 0, … , Cov( εt , X0) = 0,

так что  случайная величина  εt   не коррелирована не только с X0 , но и со случайными величинами X1 , X2, … , Xt–1 . В связи с этим, εt  иногда называют обновляющей случайной величиной для момента  t , или инновацией (innovation), полагая, что она отражает “свежую” информацию о состоянии экономической среды, в которой формируется рассматриваемый экономический показатель.

               Но если  Cov( εt , Xt–1) = 0, то тогда

D(Xt) = D(aXt–1 + εt) = a2D(Xt–1) + D(εt),  t = 1, …, n.

Для стационарного процесса мы должны иметь:

D(Xt) = sX2  для всех  t = 0, 1,… , n,

так что

 sX2 = a2sX2  + 2.

Последнее может выполняться только при выполнении условия  a2 < 1, т.е.

  ‌ .

При этом получаем выражение для sX2

 sX2 = 2∕ (1 a2) .

                Для математического ожидания имеем:

               E(Xt) = E(aXt–1 + εt) = a E(X t – 1).

Если процесс  Xt стационарный и  E(Xt) = μ, то должны также иметь:

 μ = a μ,

так что (с учетом условия ), рассматриваемый  процесс  может  быть стационарным только если  E(Xt) = 0 для всех  t = 0, 1, …, n.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: