Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.


Если оценивать параметры уравнения, не принимая во внимание автокорреляцию в остатках, и следовательно оценивать параметры a и b обычным методом МНК, то полученные оценки будут неэффективны. Т.к. они не буд4ут иметь минимальную дисперсию. Это приводит к увеличению стандартных ошибок, снижению фактических значений t-критерия и широким доверительным интервалам для коэффициента регрессии. На основе таких результатов можно сделать ошибочный вывод о незначимом влиянии исследуемого фактора на результат,  в то время как на самом деле его влияние статистически значимо.

Отметим, что при соблюдении прочих предпосылок МНК автокорреляция остатков не влияет на свойства состоятельности и несмещенности оценок параметров уравнения регрессии обычным МНК, за исключением моделей авторегрессии.

Рассмотрим основной подход к оценке параметров модели регрессии в случае, когда имеет место  автокорреляция остатков.

Пусть дана некоторая модель с автокорреляцией остатков: Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. (1)

И для момента (t-1) это модель принимает вид: Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. (2)

Умножим обе части уравнения (1) на  Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.: Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.  (3)

Вычтем почленно из уравнения  (1) уравнение (3):

Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. (4)

Проведя тождественные преобразования в уравнении (4), имеем:

Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.  (5) или Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. (6)

где Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.

ПосколькуОценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.- случайная ошибка, то для оценки параметров уравнения (6) можно применять обычный МНК.

Итак, если остатки по исходному уравнению содержат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК. Для его реализации следует выполнять следующие условия:

1)              преобразовать исходные переменные Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. и Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. к виду:

Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.

2)              Применив обычный МНК к уравнению (6), определить оценки параметров Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. и Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.

3)               Рассчитать параметр Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. исходного уравнения как Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. 

4)              Выписать исходное уравнение Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.

Обобщенный метод наименьших квадратов аналогичен методу последовательных разностей. Однако мы вычитаем из Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.(или Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.) не все значения предыдущего уровня Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. (или Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.), а некоторую его долю Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. – или Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.. Если Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках., данный метод есть просто метод первых разностей, так как  тогда Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.

Поэтому в случае, если значение критерия Дарбина-Уотсона близко к нулю, применение метода первых разностей вполне обоснованно. Если Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках., т.е. в остатках наблюдается полная отрицательная корреляция, то изложенный выше метод модифицируется следующим образом: 

Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.

Поскольку Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках. имеем  Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.

Следовательно, Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.

В сущности, в последнем уравнении мы определяем средние за два периода уровни ряда, а затем по полученным усредненным уровням обычными МНК рассчитываем параметры a и b.  Данная модель называется моделью регрессии по скользящим средним.

Основная проблема, связанная с применением  данного метода, заключается в том, как получить оценку Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.. Существует множество способов оценить численное значение коэффициента автокорреляции остатков первого порядка. Однако основными способами являются оценка этого коэффициента непосредственно по остаткам, полученным по исходному уравнению регрессии, и получение его приближенного значения  из соотношения  между коэффициентом автокорреляции первого порядка и критерием Дарбина-Уотсона: Оценка параметров уравнения при наличии автокорреляции в остатках.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: