Смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего (процесс авторегрессии с остатками в виде скользящего среднего).


Процесс  Xt  с нулевым математическим ожиданием, принадлежащий такому классу процессов, характеризуется порядками  и  q  его AR и МA составляющих и обозначается как процесс ARMA(p, q).   Процесс  Xt  принадлежит классу процессов ARMA(p, q)  (autoregressive moving average, mixed autoregressive moving average), если

Xt = Xtj + εtj ,     ap ≠ 0 , bq 0 ,

где  εt – инновации, образующие процесс белого шума с D(εt) = 2, и  b0 = 1.           В операторной форме последнее соотношение имеет вид

a(L) Xt = b(L) εt ,

где  a(L) и  b(L) имеют тот же вид, что и в определенных ранее моделях AR(p) и MA(q).

Если процесс имеет постоянное математическое ожидание m , то он является процессом типа ARMA(p, q), если

Xt – m = (Xtjm) + εtj ,

a(L) (Xt  – m) = b(L) εt ;

при этом,

                a(L) m = a(1) m ,

               m = .

            

Отметим следующие свойства ARMA(p, q) процесса  Xt  с  E(Xt) = m .

  • Если все корни алгебраического уравнения a(z) = 0 лежат вне единичного круга   на комплексной плоскости, то  Xt  –  стационарный процесс. При этом существует  MA(∞)-представление процеса Xt :

                          Xt  =εtj ,   c0 = 1,  

                   или 

                          Xt  = m + c(L) εt ,

                   где

                          c(z) =    и   

  • Если все корни уравнения  b(z) = 0 лежат вне единичного круга ‌  (условие обратимости), то существует представление процесса  Xt  в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка AR(∞)

 Xt  – m  = (Xt – j – m) + εt ,  

                  или

 d(L)(Xt  – m) = εt ,

                  где 

 d(z) =       

Отсюда вытекает, что стационарный процесс ARMA(pq) можно аппроксимировать процессом скользящего среднего достаточно высокого порядка, а при выполнении условия обратимости его можно также аппроксимировать процессом авторегрессии достаточно высокого порядка.

Обычно предполагается, что многочлены a(L) и b(L) не имеют общих корней.  Пусть, например, все корни многочленов a(L) и b(L) лежат за пределами единичного круга, и при этом

              ,

где   и   – многочлены степеней  и , не имеющие общих корней. Тогда  , так что  Xt   имеет MA(∞)-представление

               Xt  = m + c(L) εt ,

где

              c(L) =   ,

т.е. такое же представление MA(∞)-представление, как и для процесса, задаваемого соотношением

              (Xt  – m) =  εt .

Иными словами, обе части соотношения

              

можно “сократить” на общий множитель , получая при этом для процесса  “более экономное” описание:

               .

Наличие общих множителей (common factors) у многочленов  и   в представлении  модели ARMA  значительно затрудняет оценивание коэффициентов такой модели.

              

               В общем случае, если у ARMA(p, q)  процесса  Xt , , многочлены  и   не имеют общих корней, условие нахождения всех корней уравнения  a(z) = 0 вне единичного круга  является необходимым и достаточным  для стационарности процесса  Xt .

Если же допускать наличие общих корней, то ARMA-процесс может быть стационарным и в случае, когда уравнение a(z) = 0 имеет корень  c . Поясним это следующим простым примером.

Пусть  . Этот процесс стационарный. Рассмотрим разность :

.

Последнее выражение записывается в виде:

               ,

т.е.  ,  где    и  .  Иными словами, для процесса  мы получили ARMA(1, 1) представление

,

для которого уравнение  a(z) = 0  имеет корень  .

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы: