Модели ARMA, учитывающие наличие сезонности


Если наблюдаемый временной ряд обладает выраженной сезонностью, то модель ARMA, соответствующая этому ряду, должна содержать составляющие, обеспечивающие проявление сезонности в порождаемой этой моделью последовательности наблюдений.

Для квартальных данных чисто сезонными являются стационарные модели  сезонной авторегрессии первого порядка (SAR(1) – first order seasonal autoregression)

Xt = a4 Xt – 4 + εt ,      ‌ ,

и сезонного скользящего среднего первого порядка (SMA(1) – first order seasonal moving average)

Xt = εt + b4 εt – 4  .

В первой модели

ρ(k) = a4k/4   для  k = 4mm = 0, 1, 2, …,

ρ(k) = 0  для остальных k > 0.

Во второй модели

ρ(0) = 1,  ρ(4) = b4 ,  ρ(k) = 0  для остальных k > 0.     

Комбинации несезонных и сезонных изменений реализуются, например, в моделях

ARMA((1, 4), 1) 

Xt = a1 Xt – 1  + a4 Xt – 4  + εt + b1 εt – 1

и ARMA(1, (1,4))

Xt = a1 Xt – 1  + εt + b1 εt –1+ b4 εt – 4  .

 

Кроме рассмотренных примеров аддитивных сезонных моделей, употребляются также и мультипликативные спецификации, например,

(1– a1L)X­t  = (1+ b1L)(1+ b4L4) εt ,

(1– a1L)(1– a4L4) X­t  = (1+ b1L) εt .

Первая дает:

Xt = a1 Xt–1  + εt + b1 εt–1+ b4 εt–4  + b1b4 εt–5 , 

а вторая:

X­t  = a1 Xt–1  + a4 Xt–4  – a1a4 Xt–5  + εt + b1 εt–1 .

В первой модели допускается взаимодействие составляющих скользящего среднего на лагах 1 и 4 (т.е. значений εt – 1 и εt – 4), а во второй – взаимодействие авторегрессионных составляющих на лагах 1 и 4 (т.е. значений Xt – 1  и Xt – 4 ). Конечно, эти две модели являются частными случаями аддитивных моделей

Xt = a1 Xt –1 + εt + b1 εt –1+ b4 εt –4  + b5 εt –5 ,

X­t = a1 Xt –1  + a4 Xt –4  + a5 Xt –5  + εt + b1 εt –1

c b5 = b1b4, a5 = – a1a4 . При приближенном выполнении последних соотношений (по крайней мере, если гипотезы о наличии таких соотношений не отвергаются), естественно перейти от оценивания аддитивной модели к оцениванию мультипликативной модели, опять следуя  принципу “экономности” модели (“parsimony model”). Впрочем, каких-либо теоретических оснований, ведущих к предпочтению одной формы сезонности перед другой (мультипликативной или аддитивной), не существует.

Мы уже говорили ранее о том, что представление о поведении теоретических ACF и PACF может помочь в решении задачи  идентификации соответствующих моделей в рамках общего класса моделей ARMA.

Специфику формы коррелограммы процесса ARMA(pq) в общем случае указать труднее, чем для моделей AR(p) и MA(q). Отметим только, что для значений k > q коррелограмма процесса  a(L) Xt = b(Lεt  выглядит так же, как и коррелограмма процесса авторегрессии  a(L) Xt = εt . Так, для процесса ARMA(1, 1)

ρ(k) = a1 ρ(k –1)  для  k = 2, 3, … ,

как и у процесса  Xt = a1 Xt–1 + εt . При этом, однако,  ρ(1) ≠ a1 .

В таблице 1.1 приведены свойства ACF и PACF для некоторых популярных моделей стационарных временных рядов.

                                                                                 Табл. 1.1

Модель

ACF

PACF

Белый шум, MA(0)

ρ(k) = 0 для k ≠ 0 

ρpart(k) = 0 для k ≠ 0 

AR(1), a1 > 0

Экспоненциальное убывание  

ρ(k) = a1k

ρpart(1) = a1

ρpart(k) = 0, k ≥ 2

AR(1),  a1 < 0

Осциллирующее убывание 

ρ(k) = a1k

ρpart(1) = a1

ρpart(k) = 0, k ≥ 2

AR(p)

Убывание к нулю с возможной осцилляцией

Зануление при  kp

MA(1),  b1 > 0

Положительный пик при  k = 1;

зануление при k > 1

Осциллирующее убывание;

ρpart(1) > 0

MA(1),  b1 < 0

Отрицательный пик при  k = 1;

зануление при k > 1

Убывание по абсолютной величине;

         ρpart(k) < 0 при k ≥ 1

MA(q)

Зануление при  kp

ARMA(1, 1)

a1 > 0

Экспоненциальное затухание  с лага 1; знак ρ(1) совпадает со знаком (a1+ b1)

Осциллирующее убывание  с лага 1;

ρpart(1) = ρ(1)

ARMA(1, 1)

a1 < 0

Осциллирующее убывание  с лага 1; знак ρ(1) совпадает со знаком (a1+ b1)

Экспоненциальное затухание  с лага 1;

ρpart(1) = ρ(1);

знак ρpart(k) совпадает со знаком ρ(1), k > 1

ARMA(p, q)

Осциллирующее или прямое убывание, начинающееся с лага  q

Осциллирующее или прямое убывание, начинающееся с лага p

SAR(1)

Затухание на лагах, кратных периоду сезонности; зануление на остальных лагах

Пик на лаге, равном периоду сезонности; зануление на остальных лагах

SMA(1)

Пик на лаге, равном периоду сезонности; зануление на остальных лагах

Затухание на лагах, кратных периоду сезонности; зануление на остальных лагах

Предпосылкой для обоснования использования моделей ARMA является следующий факт. Если ARMA(p1, q1) ряд  Xt  и  ARMA(p2, q2) ряд  Yt  статистически независимы между собой, и  Zt = Xt + Yt , то типичным является положение, когда  Zt  является ARMA(p, q) рядом, у которого

p = p1 + p2,

q = p1 + q2,   если p1 + q2 > p2 + q1,

q = p2 + q1,   если p2 + q1 > p1 + q2. 

Возможны также ситуации, когда значения  p и  q оказываются меньше указанных значений. (Такие ситуации возникают в случаях, когда многочлены aX(z) и aY(z), соответствующие авторегрессионным частям процессов  Xt  и Yt ,  имеют общие корни.)

В частном случае, когда оба ряда имеют тип AR(1), но с различными параметрами,  их сумма имеет тип ARMA(2, 1).

В экономике многие временные ряды являются агрегированными. Из указанного выше факта вытекает, что если каждая из компонент отвечает простой модели AR, то при независимости этих компонент их сумма будет ARMA процессом. Такого же рода процесс мы получим, если часть компонент имеет тип AR, а остальные компоненты имеют тип MA. Единственным исключением является случай, когда все компоненты являются MA процессами – в этом случае в результате получаем MA процесс.

Предположим, наконец, что “истинный ” экономический ряд отвечает AR(p) модели, но значения этого ряда измеряются со случайными ошибками, образующими процесс белого шума (т.е. MA(0)). Тогда наблюдаемый ряд имеет тип ARMA(p, p).

Предыдущие материалы: Следующие материалы: