Разложение Вольда

Представить в виде процесса скользящего среднего бесконечного порядка можно не только стационарный процесс  Xt  типа ARMA(p, q), но, фактически, и любой стационарный процесс, встречающийся на практике. Это вытекает из так называемого разложения Вольда (Wold’s decomposition). Вольд (в работе 1938 года) показал, что любой стационарный в широком смысле процесс Xt  с нулевым математическим ожиданием может быть представлен в виде:

              ,

где   c0 = 1   и  ,  –  процесс белого шума,  Zt  – стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием,  для всех  j, и значение Zt  можно сколь угодно точно предсказать на основании линейной функции от прошлых значений процесса: . Тем самым, стационарный процесс  представляется в виде суммы двух компонент:  линейно недетерминированной (linearly indeterministic) компоненты   и  линейно детерминированной (linearly deterministic) компоненты Zt .  Если вторая компонента в разложении Вольда отсутствует, т.е. , то процесс  называется чисто линейно недетерминированным (purely linearly indeterministic).

Таким образом, если стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием является чисто линейно недетерминированным, то он представим в виде процесса скользящего среднего бесконечного порядка   , где  c0 = 1  и  .  

 В практических исследованиях обычно сразу предполагают отсутствие линейно детерминированной компоненты.

В качестве тривиального примера линейно детерминированного стационарного процесса с нулевым средним можно указать на модель случайного уровня:

,  ,

где  – случайная величина, имеющая нулевое математическое ожидание и конечную дисперсию.