Представить в виде процесса скользящего среднего бесконечного порядка можно не только стационарный процесс Xt типа ARMA(p, q), но, фактически, и любой стационарный процесс, встречающийся на практике. Это вытекает из так называемого разложения Вольда (Wold’s decomposition). Вольд (в работе 1938 года) показал, что любой стационарный в широком смысле процесс Xt с нулевым математическим ожиданием может быть представлен в виде:
,
где c0 = 1 и ,
– процесс белого шума, Zt – стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием,
для всех j, и значение Zt можно сколь угодно точно предсказать на основании линейной функции от прошлых значений процесса
:
. Тем самым, стационарный процесс
представляется в виде суммы двух компонент: линейно недетерминированной (linearly indeterministic) компоненты
и линейно детерминированной
(linearly deterministic) компоненты Zt . Если вторая компонента в разложении Вольда отсутствует, т.е.
, то процесс
называется чисто линейно недетерминированным (purely linearly indeterministic).
Таким образом, если стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием является чисто линейно недетерминированным, то он представим в виде процесса скользящего среднего бесконечного порядка , где c0 = 1 и
.
В практических исследованиях обычно сразу предполагают отсутствие линейно детерминированной компоненты.
В качестве тривиального примера линейно детерминированного стационарного процесса с нулевым средним можно указать на модель случайного уровня:
,
,
где – случайная величина, имеющая нулевое математическое ожидание и конечную дисперсию.
Предыдущие материалы: | Следующие материалы: |