Оценивание модели MA(q)


       При оценивании моделей с MA(q) составляющей (q > 0) существенным оказывается условие обратимости, сформулированное ранее. Покажем это на примере MA(1) модели

Xt  – m = εt  + bεt–1 ,  t = 1, … , T .

Имея наблюдаемые значения  x1, x2, … , xT , мы последовательно выражаем ε1, ε2, … , εT   через эти значения и (ненаблюдаемое) значение  ε0 :

ε1 = X1 – m – bε0,

ε2 = X2 – m – bε1 = X2 – m – b(X1 – m – bε0) = (X2 – m) – b(X1 – m) + b2 ε0, 

   …

εT = XT – m – bεT – 1 = (XT – m) – b(XT – 1– m) + b2(XT – 2– m) … +

       +(1)T – 1 b T – 1 (X1 – m) + (1)T  b T ε0 .

Максимизация (по b) условной функции правдоподобия, соответствующей наблюдаемым значениям  x1, x2,…, xT   при фиксированном значении  ε0, равносильна минимизации суммы квадратов      

Q(b) = ε12 + ε22 + … + εT2 ,

которая является нелинейной функцией от  b . Для поиска минимума этой суммы квадратов приходится использовать численные итерационные методы оптимизации, которые, в свою очередь, требуют задания начального (“стартового”) значения параметра b. Как мы уже говорили, такое стартовое значение может быть получено на этапе идентификации модели. Однако полученное в итоге итераций “оптимальное” значение  b  зависит от неизвестного нам значения ε0, что затрудняет интерпретацию результатов. Задача интерпретации облегчается, если выполнено условие обратимости ‌, и при этом значение  существенно меньше 1.  

Действительно, при выполнении этого условия можно просто положить  ε0 = 0 . Эффект от такой замены истинного значения  ε0   на нулевое быстро убывает, так что сумма квадратов, получаемая в предположении  ε0 = 0, может служить хорошей аппроксимацией для суммы, получаемой при истинном значении  ε0 , при достаточно большом количестве наблюдений.  Те же аргументы пригодны и для модели MA(q) с  q > 1 : в этом случае можно положить  ε0 = ε–1 = … == 0 .

Если в результате оценивания получена модель, в которой условие обратимости не выполняется, рекомендуется повторить процедуру оценивания с использованием другого набора начальных значений. В случае модели MA(1) можно в качестве начального взять значение, обратное значению, приведшему к необратимой модели.

              Для получения более точной аппроксимации, в пакетах статистических программ (в том числе и в EVIEWS) предусмотрена процедура (backcasting), в которой процесс итераций включает в себя также оценивание значений  ε0 , ε–1 , … ,  путем построения для них “обратного прогноза”.  В модели MA(1) для этого выбираются начальные значения  b  и  m , полагается εT+1 = 0 и используется соотношение  

εt–1 = ,

которое применяется последовательно для  t = T, T – 1, … , 1. Полученное в итоге значение  используется затем в качестве начального для основной процедуры оценивания.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: