Геометрическая интерпретация МНК. Матричная форма определения коэффициентов.


     Рассмотрим n-мерное векторное пространство Rn со стандартным евклидовым скалярным произведением

(Х,У) = ХТУ = . Пусть

    ,     ,   ,   .

Здесь  и - числовые коэффициенты, - вектор, лежащий в плоскости, образованной векторами S и Х ( естественно, что S и Х неколлинеарны, т.е. у Х не все числа одинаковы). Задача состоит в отыскании таких  и , чтобы длина вектора е была минимальна. Очевидно, что решением является такой вектор , для которого вектор е перпендикулярен плоскости, образованной S и Х. Для этого необходимо, чтобы

*   ,    и  или   ,

т.е. опять пришли к стандартным нормальным уравнениям. Обозначим теперь

 ,    ,   условие ортогональности е плоскости (S,X) запишется так ХТе = 0 или ХТ(У - Х) = ХТУ - ХТХ = 0  ХТУ = ХТХ и

                                       .

Нетрудно проверить, что все соотношения для  и  совпадают.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: