Нелинейная регрессия. Линеаризация, оценка коэффициентов.


     Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. Различают два класса нелинейных регрессий:

- регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

- регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

     Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

- полиномы разных степеней - , … (анализ издержек от объема выпуска);

- равносторонняя гипербола -  (зависимость между объемом выпуска и средними фиксированными издержками, между доходом и спросом на блага, между уровнем безработицы и процентным изменением заработной платы).

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

 - степенная -  (зависимость между расходами и прибылью);

- показательная -  (производственная функция Кобба-Дугласа);

- экспоненциальная -  (при анализе изменений переменной с постоянным темпом прироста).

     Нелинейные регрессии по включаемым переменным позволяют использовать МНК для оценки параметров, так как эти функции линейны по параметрам.

     Рассмотрим параболу . Введем замену: . Получим: - уравнение множественной линейной регрессии.  Парабола 2-й степени целесообразна к применению. Если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи признаков: прямая связь меняется на обратную или наоборот. Кривая, для которой b > 0, c < 0  используется при изучении зависимости з/п работников физического труда от возраста. При b < 0, c > 0 – зависимость затрат на производство от объема выпуска. Часто можно использовать лишь сегмент параболы.    

     Аналогично линеаризуются  полиномы любой степени. Ограничения в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и, соответственно, менее однородна совокупность по результативному признаку.

     Равносторонняя гипербола  может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемами выпускаемой продукции, временем обращения товаров от величины товарооборота. Классическим примером является кривая Филлипса, характеризующая соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста з/п у. После замены

 z = 1/x получим - уравнение парной линейной регрессии. При b > 0 - кривая Филипса, при  b < 0, кривая Энгеля, характеризующая связь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов).

     Аналогично линеаризуются и другие нелинейные по переменным функции.

Замечание. Если зависимость между х и у нелинейна, а её представили линейной зависимостью, то:

- по графику уравнения регрессии (для парной) и точкам корреляционного поля можно определить необходимость нелинейного описания зависимости;

- в случае множественной регрессии можно проанализировать остатки регрессии. Обычно они должны чередоваться «+» и «-», большие и малые. При нелинейной зависимости нет случайного чередования остатков.  

     Класс функций, нелинейных по параметрам, в свою очередь, делится на два типа:

- нелинейные модели внутренне линейные;

- нелинейные модели внутренне нелинейные.

Внутренне линейные модели могут быть приведены к линейному виду.

Например.

1)  - внутренне линейна, так как  - линейна по параметрам;

2)        - внутренне нелинейна;

3)   - внутренне нелинейна;

4)   - внутренне линейна, так как ;

5)    - внутренне линейна, так как ;

5)    - логистическая функция – внутренне линейна –

       ;   ;    .

Замечание: чтобы получить аддитивный случайный член в уравнении регрессии, необходимо в исходной модели иметь мультипликативную случайную составляющую. Чтобы  t- и F- критерии были применимы, необходимо, чтобы преобразованный случайный член имел нормальное распределение, т.е. исходный – логарифмически нормальное распределение

().

Внутренне нелинейные модели не могут быть приведены к линейному виду, и для оценки их параметров используют итеративные процедуры.

Итеративные процедуры используют принцип минимизации суммы квадратов остатков и включают следующие шаги:

1. Принимаются некоторые правдоподобные значения параметров.

2. Вычисляются  по фактическим х.

3. Определяются  и .

4. Вносятся небольшие изменения в оценки параметров.

5. Вычисляются новые , , .

6. Если < S, то новые оценки лучше, их следует использовать в качестве новой отправной точки.

7. Шаги 4, 5, 6 повторяются до тех пор, пока окажется невозможным внести изменения, уменьшающие S.

8. Делается вывод о минимизации S, и последние оценки принимаются за оценки параметров.

Недостаток – медленное оценивание, однако в последнее время разработаны различные математические процедуры, позволяющие быстро находить приемлемое требуемое решение.

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы: