Коэффициент эластичности как характеристика силы связи фактора с результатом.


     Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько % изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %. Коэффициент эластичности рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения х:

.

Различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности.

     Обобщающий коэффициент эластичности рассчитывается  для среднего значения :

 и показывает, на сколько % изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1 % относительно своего среднего уровня.

     Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения х = х0:

 и показывает, на сколько % изменится у относительно уровня у(х0) при увеличении х на 1 % от уровня х0.

     В зависимости от вида зависимости между х и у формулы расчета коэффициентов эластичности будут меняться. Основные формулы приведем в таблице.

 

Вид функции y(x)

Точечный

коэффициент Эхо

Средний коэффициент

Линейная,

Эхо =

Парабола,

Эхо =

Гипербола,

Эхо =

Степенная,

 

Эхо = b

 

Показательная,

Эхо =

     Только для степенных функций  коэффициент эластичности представляет собой постоянную независимую от х величину. Именно поэтому степенные функции широко используются в эконометрических исследованиях. Параметр b в таких функциях имеет четкую экономическую интерпретацию – он показывает процентное изменение результата при увеличении фактора на 1 %. Так, если зависимость спроса у от цен х характеризуется уравнением вида:   , то, следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,5 %.

     Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Например, бессмысленно определять, на сколько % изменится заработная плата с ростом возраста рабочего на 1 %. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наибольшего R2), не может быть экономически интерпретирована.

Пример 1. Анализируется прибыль предприятия Y в зависимости от расходов на рекламу Х. По наблюдениям за 9 лет получены следующие данные:

Y

5

7

13

15

20

25

22

20

17

X

8,8

1,0

1,8

2,5

4,0

5,7

7,5

8,3

8,8

а) постройте корреляционное поле и выдвиньте предположение о формуле зависимости между рассматриваемыми показателями;

б) оцените по МНК коэффициенты линейной регрессии и оцените качество построенной регрессии;

в) оцените по МНК коэффициенты квадратичной регрессии и оцените её качество.

Какую из моделей вы предпочтете?

Решение

1) Построим поле корреляции, используя «Мастер диаграмм»

 

 

 


2) Построим уравнение линейной регрессии  .

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,751709

R-квадрат

0,565066

Нормированный R-квадрат

0,502933

Стандартная ошибка

4,742604

Наблюдения

9

Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

204,554

204,554

9,094402

0,019505

Остаток

7

157,446

22,49229

Итого

8

362

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Нижние 95,0%

Y-пересечение

8,859876

2,846918

3,112094

0,017031

2,127985

15,59177

2,127985

x

1,590622

0,527448

3,015693

0,019505

0,343405

2,837839

0,343405

 

Средняя ошибка аппроксимации составит 30,9 % > 8-10 %.

 

 

3) Построим уравнение квадратичной зависимости

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,992323

R-квадрат

0,984706

Нормированный R-квадрат

0,979607

Стандартная ошибка

0,960608

Наблюдения

9

Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

2

356,4634

178,2317

193,149

3,58E-06

Остаток

6

5,536609

0,922768

Итого

8

362

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Нижние 95,0%

Y-пересечение

-0,98655

0,959919

-1,02774

0,343709

-3,33538

1,362291

-3,33538

x

8,470654

0,546761

15,49244

4,58E-06

7,132779

9,808529

7,132779

x^2

-0,7221

0,05628

-12,8306

1,38E-05

-0,85982

-0,58439

-0,85982

 

Средняя ошибка аппроксимации составит 4,5 % < 8-10 %.

4) Проведём оценку существенности различий R2, вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t – критерий Стьюдента:

,

где   :

,    , , .

Т.к.  tнабл < tкр, то различия между рассматриваемыми показателями корреляции несущественны и, следовательно, возможно применение линейной регрессии.

Вывод: лучшим уравнением по совокупности показателей является  квадратичная регрессия.

Замечание. Мастер диаграмм. Тип – точечная. Диаграмма – добавить линию тренда…

 

 

 

 


Пример 2. Анализируется индекс потребительских цен Y по объему денежной массы Х на основании данных с 1981 по 1997 год. Необходимо:

1)   построить корреляционное поле;

2)   построить регрессии: У на Х;  Y на lnX;  lnY на Х;  lnY на lnX;

3)   проинтерпретировать коэффициенты регрессии для каждой из моделей;

4)   по каждой из моделей определить эластичность Y по Х;

5)   определить целесообразность выбора предложенных моделей.

Решение

1)   построим корреляционное поле


2)   строим уравнения всех регрессий:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,976836

R-квадрат

0,954209

Нормированный R-квадрат

0,951157

Стандартная ошибка

4,313545

Предыдущие материалы: Следующие материалы: