Ковариационная матрица оценок коэффициентов регрессии. Оценка дисперсии ошибок.


     Преобразуем вектор оценок  с учетом наличия случайной составляющей:

   ,

Т.е. оценки параметров, найденные по выборке, будут содержать случайные ошибки.

     Вариации оценок параметров будут определять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают ковариационную матрицу К, являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной

 ,        .       

Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных относительно их математических ожиданий, так и взаимосвязь этих переменных. Так как  является несмещенной оценкой, то

                   ,         .

В матричном виде будем иметь

                                 

,

так как эти элементы Х – детерминированные величины.

     В матрице   все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю в силу некоррелируемости  и  между собой, а все элементы, лежащие на главной диагонали равны одной и той же дисперсии : . Поэтому  и, следовательно, ковариационная матрица

.

 

Так как 2  неизвестна, заменив её несмещённой оценкой – выборочной дисперсией,

,

где (n-p-1) – число степеней свободы, получим выборочную оценку ковариационной матрицы. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии определяются:

1способ:   , …, где qii – диагональные элементы матрицы (ХТХ)-1.

 

 

6,613734

-0,46567

-0,31974

 

 

 

XtX-1=

-0,46567

0,085837

-0,04936

 

 

 

 

-0,31974

-0,04936

0,11588

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y^

y-y^

 

 

 

 

1

5,133047

-0,13305

 

S^2=

0,454936

 

2

9,317597

0,682403

 

S=

0,674489

 

3

10,54077

-0,54077

 

Sa=

1,734596

 

4

6,356223

0,643777

 

 

 

 

5

5,476395

-0,47639

 

Sb1=

0,197611

 

6

5,648069

0,351931

 

 

 

 

7

6,527897

-0,5279

 

Sb2=

0,229604

 

 

СУММКВ

1,819742

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 способ, где R2 – множественный коэффициент детерминации, R2xix1…xp – коэффициент детерминации для зависимости xi от остальных факторов.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: