Теорема Гаусса-Маркова.


Предположим, что:

1. ;

2. Х – детерминированная матрица , имеющая максимальный ранг k;

3. .

Тогда оценка МНК  является наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок.

Доказательство:

     Обозначим , . Любую другую оценку  можно представить в виде  , где С – некоторая матрица.

     Докажем несмещенность оценок.

.

Так как оценка должна быть несмещенной, то

.      

Используя СХ = 0, получим                     

(так как AX = E  и СХ = 0).

Вычислим ковариационную матрицу вектора b.

.

Таким образом,   или .

Теорема доказана.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: