Предпосылки МНК: гомоскедастичность и гетероскедастичность. Предпосылки МНК: автокорреляция остатков. Обобщенный МНК.


При оценке параметров уравнения регрессии  применяется метод наименьших квадратов  (МНК ). МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, которых сумма квадратов отклонений фактических значений ре­зультативного признака (у) от расчетных (теоретических)  ми­нимальна:  Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минималь­ной.

Решается система уравнений

При практическом проведении регрессионного анализа при помощи метода МНК следует обратить внимание на проблемы, связанные с выполнимостью свойств случайных отклонений моделей. Свойства оценок коэффициентов регрессии напрямую зависят от свойств случайного члена в уравнении регрессии. Для получения качественных оценок необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК относительно случайной составляющей , которая представляет собой ненаблюдаемую величину.

При определении оценок случайной составляющей , их можно считать некоторой выборочной реализацией неизвестного остатка заданного уравнения, т.е. , поскольку они не являются реальными случайными остатками.

При изменении спецификации модели, добавлении в нее новых наблюдений выборочные оценки остатков  могут меняться. Поэтому в задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели, но и исследование случайных отклонений , т.е. остаточных величин.

После построения уравнения регрессии проводится проверка наличия у оценок  (случайных остатков) тех свойств, которые предполагались.

Исследования остатков  предполагают проверку наличия сле­дующих пяти предпосылок МНК:

1.случайный характер остатков;

2.нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi;

3.гомоскедастичность—дисперсия каждого отклонения ,одинакова для всех значений х;

4.отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков , распределены независимо друг от друга;

5.остатки подчиняются нормальному распределению.

Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений. Это значит, что для каждого значения фактора xj остатки, имеют одинаковую дисперсию. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью, невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсии отклонений). Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.

Гетероскедастичность остатков сказывается на эффективности оценок коэффициентов регрессии.

  

Рис. 1 Примеры гетероскедастичности

На рис.1а можно наглядно увидеть, что дисперсия остатков растет по мере увеличения x ;  на рис.1б дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной x и уменьшается при минимальных и максимальных значениях x ;  на рис.1в максимальная дисперсия остатков при малых значениях x   и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений x .

Предыдущие материалы: Следующие материалы:
Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.