Процесс белого шума.

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

Процессом белого шума (white noise process), или просто “белым шумом” (white noise), называют стационарный случайный процесс , , для которого

  

и

  при  t ≠ 0.

Последнее означает, что при  t s случайные величины    и , соответствующие наблюдениям процесса белого шума в моменты t и s, не коррелированы. Если ряд  гауссовский,  то отсюда вытекает независимость случайных величин   и  при  t s ; при этом для каждого  m  и для каждого набора  случайные величины  взаимно независимы и имеют одинаковое нормальное распределение  , образуя случайную выборку из этого распределения. Такой ряд называют гауссовским белым шумом (Gaussian white noise process).

В то же время, в общем случае, даже если для каждого  m  и для каждого набора  случайные величины  взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что  – процесс белого шума, т.к. случайная величина     может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши).

Временной ряд, соответствующий процессу белого шума, ведет себя крайне нерегулярным образом из-за некоррелированности при  t s случайных величин    и . Это иллюстрирует график смоделированной реализации гауссовского процесса белого шума (NOISE) с  D(Xt) ≡ 0.04, показанный на рис. 1.1.

 

                                 Рис. 1.1

В связи с этим процесс белого шума не годится для непосредственного моделирования эволюции большинства временных рядов, встречающихся в экономике. В то же время, как мы увидим ниже, такой процесс является базой для построения более реалистичных моделей временных рядов, порождающих “более гладкие” траектории ряда. В связи с частым использованием процесса белого шума в дальнейшем изложении, мы будем отличать этот процесс от других моделей временных рядов, используя для него обозначение   .

В качестве примера ряда, траектория которого похожа на реализацию процесса белого шума, можно указать, например, на ряд, образованный значениями темпов изменения (прироста) индекса Доу− Джонса в течение 1984 года (дневные данные). График этого ряда имеет показан на рис. 1.2.

                                Рис. 1.2

Заметим, однако, что здесь наблюдается некоторая асимметрия распределения вероятностей значений    (скошенность этого распределения в сторону положительных значений), что исключает описание модели этого ряда как гауссовского белого шума. Между тем, например, на периоде с 28 февраля по 7 июня 1984 г. ряд приростов логарифма  индекса Доу − Джонса (“логарифмические доходности”) идентифицируется критериями, рассмотренными на первой лекции, как случайная выборка из нормального распределения с нулевым средним, т.е. как гауссовский белый шум.

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы:
Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.