Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько % изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %. Коэффициент эластичности рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения х:
.
Различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности.
Обобщающий коэффициент эластичности рассчитывается для среднего значения 
:
и показывает, на сколько % изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1 % относительно своего среднего уровня.
Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения х = х0:
и показывает, на сколько % изменится у относительно уровня у(х0) при увеличении х
на 1 % от уровня х0.
В зависимости от вида зависимости между х и у формулы расчета коэффициентов эластичности будут меняться. Основные формулы приведем в таблице.
|
Вид функции y(x) |
Точечный коэффициент Эхо |
Средний коэффициент |
|
Линейная, |
Эхо = |
|
|
Парабола, |
Эхо = |
|
|
Гипербола, |
Эхо = |
|
|
Степенная, |
Эхо = b |
|
|
Показательная, |
Эхо = |
|
Только для степенных функций 
коэффициент эластичности представляет собой постоянную независимую от х величину. Именно поэтому степенные функции широко используются в эконометрических исследованиях. Параметр b в таких функциях имеет четкую экономическую интерпретацию – он показывает процентное изменение результата при увеличении фактора на 1 %. Так, если зависимость спроса у от цен х
характеризуется уравнением вида: 
, то, следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,5 %.
Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Например, бессмысленно определять, на сколько % изменится заработная плата с ростом возраста рабочего на 1 %. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наибольшего R2), не может быть экономически интерпретирована.
Пример 1. Анализируется прибыль предприятия Y в зависимости от расходов на рекламу Х. По наблюдениям за 9 лет получены следующие данные:
|
Y |
5 |
7 |
13 |
15 |
20 |
25 |
22 |
20 |
17 |
|
X |
8,8 |
1,0 |
1,8 |
2,5 |
4,0 |
5,7 |
7,5 |
8,3 |
8,8 |
а) постройте корреляционное поле и выдвиньте предположение о формуле зависимости между рассматриваемыми показателями;
б) оцените по МНК коэффициенты линейной регрессии и оцените качество построенной регрессии;
в) оцените по МНК коэффициенты квадратичной регрессии и оцените её качество.
Какую из моделей вы предпочтете?
Решение
1) Построим поле корреляции, используя «Мастер диаграмм»
2) Построим уравнение линейной регрессии 
.
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||||
|
Регрессионная статистика |
|||||||
|
Множественный R |
0,751709 |
||||||
|
R-квадрат |
0,565066 |
||||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,502933 |
||||||
|
Стандартная ошибка |
4,742604 |
||||||
|
Наблюдения |
9 |
||||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
||
|
Регрессия |
1 |
204,554 |
204,554 |
9,094402 |
0,019505 |
||
|
Остаток |
7 |
157,446 |
22,49229 |
||||
|
Итого |
8 |
362 |
|||||
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
|
Y-пересечение |
8,859876 |
2,846918 |
3,112094 |
0,017031 |
2,127985 |
15,59177 |
2,127985 |
|
x |
1,590622 |
0,527448 |
3,015693 |
0,019505 |
0,343405 |
2,837839 |
0,343405 |
Средняя ошибка аппроксимации составит 30,9 % > 8-10 %.
3) Построим уравнение квадратичной зависимости 
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|||||||
|
Регрессионная статистика |
|||||||
|
Множественный R |
0,992323 |
||||||
|
R-квадрат |
0,984706 |
||||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,979607 |
||||||
|
Стандартная ошибка |
0,960608 |
||||||
|
Наблюдения |
9 |
||||||
|
Дисперсионный анализ |
|||||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
||
|
Регрессия |
2 |
356,4634 |
178,2317 |
193,149 |
3,58E-06 |
||
|
Остаток |
6 |
5,536609 |
0,922768 |
||||
|
Итого |
8 |
362 |
|||||
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
|
Y-пересечение |
-0,98655 |
0,959919 |
-1,02774 |
0,343709 |
-3,33538 |
1,362291 |
-3,33538 |
|
x |
8,470654 |
0,546761 |
15,49244 |
4,58E-06 |
7,132779 |
9,808529 |
7,132779 |
|
x^2 |
-0,7221 |
0,05628 |
-12,8306 |
1,38E-05 |
-0,85982 |
-0,58439 |
-0,85982 |
Средняя ошибка аппроксимации составит 4,5 % < 8-10 %.
4) Проведём оценку существенности различий R2, вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t – критерий Стьюдента:
,
где 
:
, 
, 
, 
, 
.
Т.к. tнабл < tкр, то различия между рассматриваемыми показателями корреляции несущественны и, следовательно, возможно применение линейной регрессии.
Вывод: лучшим уравнением по совокупности показателей является квадратичная регрессия.
Замечание. Мастер диаграмм. Тип – точечная. Диаграмма – добавить линию тренда…
Пример 2. Анализируется индекс потребительских цен Y по объему денежной массы Х на основании данных с 1981 по 1997 год. Необходимо:
1) построить корреляционное поле;
2) построить регрессии: У на Х; Y на lnX; lnY на Х; lnY на lnX;
3) проинтерпретировать коэффициенты регрессии для каждой из моделей;
4) по каждой из моделей определить эластичность Y по Х;
5) определить целесообразность выбора предложенных моделей.
Решение
1) построим корреляционное поле
2) строим уравнения всех регрессий:
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
||||||
|
Регрессионная статистика |
||||||
|
Множественный R |
0,976836 |
|||||
|
R-квадрат |
0,954209 |
|||||
|
Нормированный R-квадрат |
0,951157 |
|||||
|
Стандартная ошибка |
4,313545 |
|||||