Коэффициент эластичности как характеристика силы связи фактора с результатом.

     Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько % изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %. Коэффициент эластичности рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения х:

.

Различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности.

     Обобщающий коэффициент эластичности рассчитывается  для среднего значения :

 и показывает, на сколько % изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1 % относительно своего среднего уровня.

     Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения х = х0:

 и показывает, на сколько % изменится у относительно уровня у(х0) при увеличении х на 1 % от уровня х0.

     В зависимости от вида зависимости между х и у формулы расчета коэффициентов эластичности будут меняться. Основные формулы приведем в таблице.

     Только для степенных функций  коэффициент эластичности представляет собой постоянную независимую от х величину. Именно поэтому степенные функции широко используются в эконометрических исследованиях. Параметр b в таких функциях имеет четкую экономическую интерпретацию – он показывает процентное изменение результата при увеличении фактора на 1 %. Так, если зависимость спроса у от цен х характеризуется уравнением вида:   , то, следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,5 %.

     Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Например, бессмысленно определять, на сколько % изменится заработная плата с ростом возраста рабочего на 1 %. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наибольшего R2), не может быть экономически интерпретирована.

Пример 1. Анализируется прибыль предприятия Y в зависимости от расходов на рекламу Х. По наблюдениям за 9 лет получены следующие данные:

а) постройте корреляционное поле и выдвиньте предположение о формуле зависимости между рассматриваемыми показателями;

б) оцените по МНК коэффициенты линейной регрессии и оцените качество построенной регрессии;

в) оцените по МНК коэффициенты квадратичной регрессии и оцените её качество.

Какую из моделей вы предпочтете?

Решение

1) Построим поле корреляции, используя «Мастер диаграмм»

2) Построим уравнение линейной регрессии  .

Средняя ошибка аппроксимации составит 30,9 % > 8-10 %.

3) Построим уравнение квадратичной зависимости

Средняя ошибка аппроксимации составит 4,5 % < 8-10 %.

4) Проведём оценку существенности различий R2, вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t – критерий Стьюдента:

,

где   :

,   ,   , , .

Т.к.  tнабл < tкр, то различия между рассматриваемыми показателями корреляции несущественны и, следовательно, возможно применение линейной регрессии.

Вывод: лучшим уравнением по совокупности показателей является  квадратичная регрессия.

Замечание. Мастер диаграмм. Тип – точечная. Диаграмма – добавить линию тренда…

Пример 2. Анализируется индекс потребительских цен Y по объему денежной массы Х на основании данных с 1981 по 1997 год. Необходимо:

1)   построить корреляционное поле;

2)   построить регрессии: У на Х;  Y на lnX;  lnY на Х;  lnY на lnX;

3)   проинтерпретировать коэффициенты регрессии для каждой из моделей;

4)   по каждой из моделей определить эластичность Y по Х;

5)   определить целесообразность выбора предложенных моделей.

Решение

1)   построим корреляционное поле

2)   строим уравнения всех регрессий: