Коэффициент эластичности как характеристика силы связи фактора с результатом.

     Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько % изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %. Коэффициент эластичности рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения х:

.

Различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности.

     Обобщающий коэффициент эластичности рассчитывается  для среднего значения :

 и показывает, на сколько % изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1 % относительно своего среднего уровня.

     Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения х = х0:

 и показывает, на сколько % изменится у относительно уровня у(х0) при увеличении х на 1 % от уровня х0.

     В зависимости от вида зависимости между х и у формулы расчета коэффициентов эластичности будут меняться. Основные формулы приведем в таблице.

 

Вид функции y(x)	Точечный коэффициент Эхо	Средний коэффициент
Линейная,	Эхо =
Парабола,	Эхо =
Гипербола,	Эхо =
Степенная,	Эхо = b
Показательная,	Эхо =

     Только для степенных функций  коэффициент эластичности представляет собой постоянную независимую от х величину. Именно поэтому степенные функции широко используются в эконометрических исследованиях. Параметр b в таких функциях имеет четкую экономическую интерпретацию – он показывает процентное изменение результата при увеличении фактора на 1 %. Так, если зависимость спроса у от цен х характеризуется уравнением вида:   , то, следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,5 %.

     Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Например, бессмысленно определять, на сколько % изменится заработная плата с ростом возраста рабочего на 1 %. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наибольшего R2), не может быть экономически интерпретирована.

Пример 1. Анализируется прибыль предприятия Y в зависимости от расходов на рекламу Х. По наблюдениям за 9 лет получены следующие данные:

Y	5	7	13	15	20	25	22	20	17
X	8,8	1,0	1,8	2,5	4,0	5,7	7,5	8,3	8,8

а) постройте корреляционное поле и выдвиньте предположение о формуле зависимости между рассматриваемыми показателями;

б) оцените по МНК коэффициенты линейной регрессии и оцените качество построенной регрессии;

в) оцените по МНК коэффициенты квадратичной регрессии и оцените её качество.

Какую из моделей вы предпочтете?

Решение

1) Построим поле корреляции, используя «Мастер диаграмм»

 

 

 

2) Построим уравнение линейной регрессии  .

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,751709
R-квадрат	0,565066
Нормированный R-квадрат	0,502933
Стандартная ошибка	4,742604
Наблюдения	9
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	204,554	204,554	9,094402	0,019505
Остаток	7	157,446	22,49229
Итого	8	362
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%
Y-пересечение	8,859876	2,846918	3,112094	0,017031	2,127985	15,59177	2,127985
x	1,590622	0,527448	3,015693	0,019505	0,343405	2,837839	0,343405

 

Средняя ошибка аппроксимации составит 30,9 % > 8-10 %.

 

 

3) Построим уравнение квадратичной зависимости

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,992323
R-квадрат	0,984706
Нормированный R-квадрат	0,979607
Стандартная ошибка	0,960608
Наблюдения	9
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	356,4634	178,2317	193,149	3,58E-06
Остаток	6	5,536609	0,922768
Итого	8	362
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%
Y-пересечение	-0,98655	0,959919	-1,02774	0,343709	-3,33538	1,362291	-3,33538
x	8,470654	0,546761	15,49244	4,58E-06	7,132779	9,808529	7,132779
x^2	-0,7221	0,05628	-12,8306	1,38E-05	-0,85982	-0,58439	-0,85982

 

Средняя ошибка аппроксимации составит 4,5 % < 8-10 %.

4) Проведём оценку существенности различий R2, вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t – критерий Стьюдента:

,

где   :

,   ,   , , .

Т.к.  tнабл < tкр, то различия между рассматриваемыми показателями корреляции несущественны и, следовательно, возможно применение линейной регрессии.

Вывод: лучшим уравнением по совокупности показателей является  квадратичная регрессия.

Замечание. Мастер диаграмм. Тип – точечная. Диаграмма – добавить линию тренда…

 

 

 

 

Пример 2. Анализируется индекс потребительских цен Y по объему денежной массы Х на основании данных с 1981 по 1997 год. Необходимо:

1)   построить корреляционное поле;

2)   построить регрессии: У на Х;  Y на lnX;  lnY на Х;  lnY на lnX;

3)   проинтерпретировать коэффициенты регрессии для каждой из моделей;

4)   по каждой из моделей определить эластичность Y по Х;

5)   определить целесообразность выбора предложенных моделей.

Решение

1)   построим корреляционное поле

2)   строим уравнения всех регрессий:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,976836
R-квадрат	0,954209
Нормированный R-квадрат	0,951157
Стандартная ошибка	4,313545

Предыдущие материалы: Корреляция для нелинейной регрессии. Тест Бокса-Кокса. Нелинейная регрессия. Линеаризация, оценка коэффициентов. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии. Качество уравнения регрессии. Коэффициент детерминации. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Следующие материалы: Линейная модель множественной регрессии в скалярной и векторной формах. МНК оценки коэффициентов множественной регрессии. Ковариационная матрица оценок коэффициентов регрессии. Оценка дисперсии ошибок. Теорема Гаусса-Маркова. Коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент детерминации. Частная корреляция.