Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Теорема Айткена.

     Рассмотрим линейную модель множественной регрессии:

1)

2) ,   ,    ,  ,   

Значения признака          Матрица объясняющих              Вектор               Вектор                Вектор

                                          переменных, столбцами      регрессора j          случайных         коэфф-тов

                                          которой являются Xj                                           ошибок              регрессии

3),

    В классической модели компоненты вектора возмущений некоррелированы М() = 0 при , а дисперсии компонент постоянны , ковариационная матрица возмущений

     Суть обобщения регрессионной модели состоит в том, что ковариации и дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными (т.о. обобщенная модель множественной регрессии отличается от классической только видом ковариационной матрицы). - положительно определенная матрица (АТ = А и хТАх > 0). В классической модели множественной регрессии обычным МНК был получен вектор оценок  параметров, он является несмещенной и состоятельной оценкой для . Рассмотрим ковариационную матрицу

В классической модели  и К = . В качестве выборочной оценки ковариационной матрицы К  была взята матрица   ,  где    ,   причем

M(S2) =  и = К, т.е. - несмещенная оценка К.

     В обобщенной модели  и К = . Если в качестве оценки матрицы К взять ту же матрицу, то , т.е. - смещенная оценка для К. Т.о., обычный МНК в обобщенной линейной регрессионной модели дает смещенную оценку ковариационной матрицы К вектора оценок параметров. Следовательно, оценка не будет оптимальной в смысле теоремы Гаусса-Маркова. Для получения наиболее эффективной оценки ковариационной матрицы К нужно использовать оценку, получаемую так называемым обобщенным МНК.

Теорема Айткена: в классе линейных несмещенных оценок вектора  для обобщенной регрессионной модели оценка  имеет наименьшую ковариационную матрицу.

     Для применения обобщенного МНК надо знать ковариационную матрицу вектора возмущений , что встречается крайне редко в практике эконометрического моделирования. Если считать все n(n+1)/2 элементов матрицы  неизвестными параметрами обобщенной модели (в дополнение к (р+1) параметрам регрессии), то общее число параметров превысит число наблюдений n, что сделает оценку этих параметров неразрешимой задачей.

     Для практической реализации обобщенного МНК вводятся дополнительные условия на структуру матрицы .